Untersuchungen von analytischen und numerischen Verfahren zur nichtlinearen Varianzfortpflanzung

Viele Messungen in der Ingenieurgeodäsie und in anderen Ingenieurdisziplinen dienen dazu, geometrische und physikalische Größen zu bestimmen. Das Ergebnis der einmaligen Aufzeichnung solcher Messungen ist die Realisierung eines Zufallsexperiments einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen (ZV). Oft sind jedoch nicht die Messungen allein, sondern auch daraus abgeleitete Größen von Bedeutung. Für die linear transformierte ZV erhält man durch Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes das 2. Zentrale Moment (Varianz) in einer geschlossenen analytischen Form. Bei nichtlinearen Funktionen ist die Berechnung von Erwartungswert und Varianz der transformierten Zufallsvariablen nur dann streng möglich, wenn die Verteilungsfunktion vollständig bekannt ist. In der Bachelorarbeit wurden ver-schiedene Verfahren zur Bestimmung von Momenten einer Verteilungsfunktion von nichtlinearen transformierten Zufallsvariablen untersucht. Für die Untersuchungen wurden die Verfahren

• Linearisierung nach Taylor mit Abbruch nach dem Term 1. Ordnung,
• Linearisierung nach Taylor mit Abbruch nach dem Term 2. Ordnung,
• Nichtlineare Varianzfortpflanzung (Unscented Transform),
• Monte-Carlo-Verfahren

implementiert und diskutiert. Es werden Multiplikationen, Divisionen, trigonometrische Funktionen sowie die Eigenschaften von exponentiellen und logarithmischen Zusammenhängen untersucht. Die Untersuchungen zeigten, dass die Wahl des Mittelwerts der Eingangsgrößen, sowie dessen Verteilung sehr entscheidend ist. Eine hohe Nichtlinearität und eine hohe Varianz wirken sich auf alle Verfahren in Form von heterogenen Ergebnissen aus. Die Monte-Carlo-Methode ist aufgrund ihrer numerischen Berechnungsweise im Vergleich zu den analytischen Verfahren eher langsam. Die Ergebnisse sind jedoch in den meisten Fällen repräsentativ.
In praktischen Anwendungen, wie geometrischen Berechnungen und Koordinatentransformationen, ist die Genauigkeit der Messungen in der Regel so hoch, dass alle Verfahren plausible Ergebnisse liefern.